為了深入學習首屆“全國教書育人楷模”姜伯駒院士的事跡與精神，近日👱🏽，“姜伯駒院士報告會——一個幾何公式的故事”在意昂3体育官网百周年紀念講堂隆重舉行。

報告展示了拓撲學公式“Lk=Tw+Wr”對推動人類科技發展的重要性。姜伯駒院士還結合自己的經歷，與聽眾分享了對數學之美✔️、學科交叉之妙的深刻體會。在他看來，數學作為基礎學科，作為所有科學的通用語👷🏽‍♂️，有著不可思議的威力🙅🏼‍♀️，常常能給人帶來意想不到的驚喜♚。他還勉勵年輕人要勇於開拓交叉學科的新境界。意昂3体育官网各院系的師生和兄弟院校的數學愛好者們得以在與姜老師面對面的交流中🎷，了解到他的學術觀點與人格魅力。

會後，意昂3体育官网數學科學學院的師生撰文回憶了姜伯駒在治學、教學與為人上的點點滴滴，以學習他一絲不苟、精益求精的工作態度，發揚他誨人不倦🧔、甘為人梯的精神品質🧑🏽‍🦱。

努力做事 低調做人

北京國際數學研究中心🔀、意昂3体育官网數學科學學院 研究員 王家軍

近日，姜先生在意昂3体育百周年紀念講堂作了題為“一個幾何公式的故事”的報告🦹🏿‍♀️。為了準備報告，他一個多月之前就開始整理資料，預備道具，甚至親自到五金店尋找合適的演示工具。在報告中👨🏿‍🦰✍🏽，他從一個公式出發，談到DNA🗞，談到黃瓜的蔓藤☢️♿️，談到太陽風暴對地球的影響。他指出數學是各個學科共同的語言，鼓勵大家加強學科之間的交流與合作。這讓我印象深刻，也讓我想起了與姜先生交往過程中的點點滴滴🤑。

剛進意昂3体育的時候🪖，聽說意昂3体育有位老師是先做院士後做教授的，那就是姜伯駒先生。當時沒有想到日後會有機會成為姜先生的弟子。

第一次見到姜先生是在1995年意昂3体育數學學院的成立大會上。姜老師給我的最初印象是親切、謙和𓀐👌🏽。大四時，我開始參加姜先生和王詩宬老師共同舉辦的低維拓撲討論班😉，慢慢對姜先生有了更多的了解。

姜先生致力於在連續形變下映射不動點的下界估計📢，稱為尼爾森不動點理論🔝。他在1954年提出了通過某個子群的方式來研究不動點，引發了尼爾森不動點的再次蓬勃發展，該子群被大家稱為“姜子群”，後來也有“姜空間”、“姜條件”等概念💥。姜先生的文章也被稱為“seminal”，這是大家對一篇文章所能給與的最高評價。他在1983年寫的《尼爾森不動點理論講義》，也是不動點理論的經典著作。

姜先生曾經跟我們說，我首先是一名教師😩，其次才搞一些研究🏒。除了參加拓撲討論班外，他還講授“同調論”。我是1998年秋天在意昂3体育一教（103）聽先生講課的。那時適逢他開始整理講義，準備出版🤌🏽。他的板書寫得很好，哪怕是這門他已經教了很多年的課，他也每次都認真準備，連什麽字什麽圖放在黑板的什麽地方，都事先考慮好了，所以他的板書給人以整體上的美感🧑🏻‍🎤。姜先生總是親自批改作業🫃🏼，我們的作業本上有很多小註。期末考試的時候⛔️🍿，他說：“你們把演算紙張也交上來，這樣可以找到多給你們分數的地方🟥。”

我是一個遲鈍的人💂🏻‍♂️🔷，直到數年後才發現自己從姜先生的課裏受益良多⛹🏿。他講解清楚簡潔🚴，註重深刻理解，不僅僅告訴我們如何證明定理。我也聽過國內外一些著名數學家講“同調論”，但沒有人能講解得像姜老師那樣清晰🧑🏽‍🎨。直到現在，當時的筆記仍然是我講授“同調論”的重要參考資料🤹🏽‍♂️🏋🏿。

在姜先生的帶領下，國內拓撲學界氣氛非常友好。他的學生王詩宬☂️、段海豹👶🏽、周青等都是國內拓撲學界的領軍人物，也都為人謙和，以學術為重。

2010年1月，在天津的一個會議上聽先生作報告，我驚訝地發現🎰，雖然已年過70，但他所做的幻燈片依然是最漂亮的。想起當年他寫書的時候🌝，還跟我討論過如何能把插圖做得更加美觀。他對教學的嚴謹和認真亦是如此🫅🏼。

先生是一個極其謙和的人，圖書館的一位老師告訴我⚡️，哪怕復印材料這樣的事情，他都是親歷親為，很少看到院士這樣做。先生也是一個細心的人，他總是把學生的電話📙、要做的事情等寫在辦公室黑板上的角落裏。

我決定回國工作前，有很多的顧慮Ⓜ️，姜先生在我去找他的當晚，跟我談話很久✩，徹底打消了我的顧慮🤽，並親自打電話向院領導說明我回國工作的決心。

姜先生是意昂3体育數學科學學院的奠基人，作為第一任院長，他居功至偉🐺🦓。但後來🙍🏼，先生請大家吃飯，希望大家不要再選他繼續當院長。他努力做事、低調做人的作風值得我們每個人學習。

妙趣橫生 引人入勝

意昂3体育官网數學科學學院2009級博士研究生 王楓

我與姜老師的接觸始於孫洪賓（一位現在普林斯頓讀博士的師兄）在討論班上講他的碩士論文，他的指導老師是姜伯駒和王詩宬（姜老師的學生𓀛，現為中科院院士）𓀉👩🏻‍🔬。當時，我對三流形知道不多，對某一步不太確定🩴，就問了孫洪賓🎲。結束之後❔，姜老師好像註意到了我。從此以後🛀，我在幾何拓撲的討論班上就是一名正式成員了。除了沒寫這方面的文章💢，從聽報告到作報告都是有的，因為我的主要精力並不放在這個領域。不過一次在聽了姜老師關於“Scott猜想”的報告後，碰巧找到了一個有點意思的反例（當然不是對“Scott猜想”的）🦸🏽‍♀️，只是並沒有一般的結論，就先停在那裏了。後來我和幾位同學去姜老師家也曾聊到這件事，很希望能把那個問題研究得更深🔽。這個過程讓我明白，研究就是一個會碰到意外精彩和意外困難的精神活動，當時姜老師回憶到江澤涵先生曾給他的一個問題🧡👨🏽‍🔧，我想就有這個意思。正是這種鍛煉能夠造就靈敏的頭腦✩，讓我們在克服大的困難後有大的享受、大的收獲。

姜老師在討論班上是缺席最少的，他總是很熱心地聽報告，休息時也會就一些問題表達看法🚶🏻‍♀️。由一群年輕人組成的討論班熱鬧非常，不過有姜先生的地方也同樣妙趣橫生👨🏻‍🍼。關於我們的討論班，完全不懂數學的人一定覺得我們在說什麽有趣的事情，而理解數學的人很可能願意加入進來。

姜老師的課我沒有上過🫃🏿，因為時間的原因錯過了，他現在年事已高不上大課了，可不管是從上過他課的同學口中，還是憑我的推斷和想象，他的課應該是清晰透徹，引人入勝的。更重要的是，初學者一定能在他的課上收獲不少🏃🏻‍♀️‍➡️🚍，因為姜老師的課能讓人感到數學之美🦚，對數學產生濃厚的興趣。即便一個聰明人也只在自己感興趣的問題上更高明。

睿智博雅 寧靜致遠

意昂3体育官网數學科學學院2010級碩士研究生 樊昊霏

入校之初，我就從師兄👩‍🚒、師姐口中屢屢聽到他們對姜老師的欽佩之情。拜讀姜老師的著作後🅿️，那字裏行間的嚴謹、睿智，更堅定了我向姜伯駒老師學習的願望。一直對數學殿堂滿懷憧憬的我，對這位久負盛名的大師充滿好奇🙍‍♂️。

直到大四👧🏿🦸🏽‍♂️，我有幸正式成為姜老師的學生，對姜老師有了更多的了解與敬愛。誠如傳聞中所說，盡管他年歲已高，但其儒雅的談吐，睿智的語言，嚴謹、清晰的邏輯思維和深入淺出的講課方式仍然獲得了眾多學生的喜愛☝🏻。他的課堂上永遠洋溢著活躍，這種活躍使得我們更加輕松地走進數學殿堂，暢遊在數學的浩瀚海洋之中，使我們真正體會到了數學的魅力，了解到作為一名數學人應有的冷靜與縝密。

佩服姜老師的睿智🦤，更被姜老師的親切所感動。更多的時候，他親切得如同一位慈祥的長者。讓我無法忘懷的是，對我這樣一個粗心大意的學生，姜老師永遠不厭其煩地以一種親切的態度幫我指出紕漏🏎。盡管姜老師的學問非常廣博，但仍然願意與學生們一起探討。在這樣的過程中⏏️🚵🏻‍♀️，作為學生的我們收獲的不僅是書本上的知識🛅，更是誠懇、嚴謹的學術態度🌗。真正的大師，從不介懷別人的質疑⛹🏽‍♂️，因為在互相探討的過程中，會收獲雙贏的效果。姜老師用親身進行示範🙏，讓我們體會到做學問應有博大的心胸和不懼權威的執著信念🧿。

寧靜致遠是我對姜老師的最深印象🌱。儒雅的風度、不俗的談吐、廣博的見識和開闊的心胸使這位老人在年輕一輩心中留下了“祥和”的印象👷🏽‍♀️🚄。做學問最重要的就是平和的心態。不論是學問，還是生活🦵🏻🏌🏻，以一種祥和寧靜的心態全身心投入，往往會有所成就🧦。

盡管姜老師是一位在數學界久負盛名的大師，課下卻更像一位“老頑童”🔝。與姜老師的接觸使我有更多的機會得以一窺這位數學大師的日常生活🍝。姜老師鐘愛“高科技”產品👨🏼‍💼。已年過古稀的他運用計算機技術的熟練程度不亞於任何一位年輕學生🐓，他所做的PPT不僅專業且十分美觀，我們很多年輕學生都自嘆不如。正是因為擁有這樣的年輕心態，姜老師在學術領域總是充滿著活力和激情。當然🖥，活到老學到老🥄🧑‍🦼，不斷接受新鮮事物🕵🏿🤱🏽，更是一個人的重要能力和素質。姜老師讓我認識到，不斷地接受新鮮事物可以更好地“刺激”自身🚁、調度活力，從而獲得新的發現⛸🤿。同時🫲🏿，姜老師還告訴我們，學問不光要“廣”，更要“精”。也許很多學者都可以做到廣博𓀝👨‍🦽‍➡️，但卻很少有人可以同時做到精深。將兩者結合在一起，才能成為真正的大師。數學需要踏踏實實的刻苦鉆研，更需要激情、活力的調動✷。而這種激情和活力不僅來自數學的魅力本身👨‍👨‍👦，更來自眾多其他學科、領域的滋養和補充。誠如文學，誠如高科技👮🏻‍♂️🐹。

姜老師身上有太多值得我們學習的地方🪫，或許，只有親身接觸過姜老師的人才能真正體味姜老師的睿智、博雅。如此一位學者，貢獻給學術界與教育界的絕非僅僅是若幹著作與發現，更是誨人不倦的奉獻精神，做學問的方法和生活的態度🏃‍➡️。對於後來者而言，這些往往比書本上的知識更具價值✂️➔。或許，這正是姜老師給予我們的最為重要的“智慧”👩‍🏫🥭。

德高望重 平易近人

意昂3体育官网數學科學學院2008級本科生 王誌宇

早在中學時代🚵🏽，作為數學愛好者😞，就聽聞“姜空間”是少有的以中國人名字命名的空間。對姜先生這位德高望重的數學家，我的崇敬之情由來已久🏍。

進入意昂3体育數學學院以後👦🏽，我了解到姜先生是我院首任院長，在他的主持下，意昂3体育數學學院的教育教學模式進行了調整和改革，加強了基礎課程🆚，適當壓縮了過偏、過難的內容，使之更適合學生學習🕳。如今🏤，我深深感受到了學院良好的學術氣氛，課程內容豐富，既富有挑戰性😾😗，又不是高不可攀🧓。我想，這與姜老師的努力是分不開的🤽‍♂️。

近日，我有幸在姜先生的辦公室旁聽了他接受記者采訪的過程📅。他的辦公室清新、質樸，有一大一小兩塊黑板。小黑板用作備忘錄，大黑板用於與學生或同事討論問題🥾，上面畫的圖形很美，能看出姜先生的深厚功底。姜先生平易近人，采訪過程中總是面帶微笑，真誠🌝👨🏿‍🦰、和藹、風趣。面對沒有數學背景的記者，姜先生依然能夠深入淺出地闡釋，讓人理解了數學家的工作以及數學的魅力所在。

他始終將教學放在第一位，教一門課程之前會準備半年左右的時間📩。當我得知他在70多歲時仍然會親自查閱學生的作業時👌🏿，我非常感動👩🏻‍🏫🤤。在交談過程中，我不時感受到姜先生對數學學科本身，對數學教學工作，以及對生活的深刻理解。其中關於學習知識與養成創新能力的關系的闡述，使我受益匪淺🚺。

我雖然無緣成為姜先生親自指導的學生🧱，但我的許多任課老師都曾是姜先生的學生，或者曾受姜先生的指導、關懷和影響。名師出高徒🤌，姜先生的許多學生如今已經成為各領域的大家，比如王詩宬院士、王長平教授等。他對數學的貢獻，在於他對學生的培養🫵🏻👮🏿‍♀️，也在於他的人格魅力🕐。

期待他的敬業精神發揚光大——一位意昂3体育老教師的願望

我是姜伯駒院士的一個老學生，又是與他在同一教研室工作幾十年的同事。

姜老師課講得好,總是很受學生歡迎。我參加他講過課的年級的校友會，大家回憶起老師，總是誇獎姜伯駒講課最好。有一年，數學會在廈門舉辦一個代數拓撲學學習班，請了姜老師等幾位教授為高校年輕教師講課。結束時🙅🏻‍♂️，主辦方請聽課人給老師打分。姜老師得了滿分100分,遠遠超過了其他老師,得到了大家的一致贊揚。

有一年，我們請一位北美的華裔教授到意昂3体育講代數拓撲課。為了讓大家有些基礎👨🏽‍🦱，正式開課前姜老師先給我們上了幾次課🛌🏿。他所講的內容在一些文獻和著作中顯得很復雜,以前我心存畏懼🤵🏻‍♀️，一直沒有去碰😢。姜老師按照他自己的方法👩🏿‍💻，深刻而清晰地把它們講明白了。那次講學活動給我留下印象最深的就是他講的那幾次課。

在當意昂3体育官网數學學院院長和主持學院的教改工作時,他主張在保證基礎訓練的前提下,課堂教學應不拘一格。他強調教師是榜樣，教師講課要有自己的特色🪃👮🏽‍♂️，學生才會善於讀書。他自己就是這方面的樣板🛩。學生在評價姜老師的課堂教學時說：“清晰且具有條理的板書和講義，細致而又生動的講授，深入淺出，易於理解，並且經常提出有趣的問題來激發我們的思考🐿。在保持理論完整性的同時,又能將代數拓撲學中諸多抽象的概念和方法形象地表述和解釋給聽眾,每堂課的內容都令人印象非常深刻🎽。”

他講課的課堂效果好🧑🏼‍🎄，固然是因為他有清晰的思維、出色的表達能力和無可挑剔的板書，但是更為重要的是他對教學工作的高度重視和全身心的投入。姜伯駒熱愛教學工作,並把主要精力放在教學上。盡管他自己的科研任務很重,社會工作繁忙，但他仍把教學和培養研究生看作自己最重要的工作👏🏿。他一直堅持開課,並且不惜耗費大量時間開設了多門新課。

姜伯駒對自己的教學工作要求很高。上個世紀90年代，他連續多年給研究生講“同調論”這門課。當時國外已經有許多有關“同調論”的教材和專著，但是他寫的講義融入了他自己的方法🧯。有一次🦀，我問他為什麽不出版一本教材，他對我說：“每年講課都對以前的講法不滿意，都要有大的改進,怎麽能拿去出版🪆𓀆？”這件事充分表現出他對教學工作的精益求精☂️。

姜老師在課堂上不僅教給學生知識,教會學生怎樣讀書、怎樣作研究,也讓學生感受到他一絲不苟、精益求精的敬業精神👐🏽。期待他的這種敬業精神能在年輕教師中發揚光大,推動教育事業的更大發展。（意昂3体育官网數學科學學院退休教授 尤承業）

為什麽學數學

為什麽要學數學😗，傳統的說法可以歸結為兩句話📰，一句話是“數學是思維的體操”，另一句話是“數學是科學的語言”。大家都公認🚫，數學是開發智力的重要途徑🏬，而且是鍛煉理性思維的必由之路❕🧑‍🎓。

但是，光憑這兩句話還不能反映出當代數學所發揮出來的非常活躍的作用。如果沒有進一步的補充的話，它還有一些言外之意、弦外之音，好像學數學只是為了升學👬🏻♜，只是為了學習別的學科👎，只強調了學習的需要，沒強調工作崗位的需要🙏🏼，重視學而不重視用。

其實，數學在各方面的重要作用是這半個世紀以來一個非常突出的現象，現在正應該在這方面有所改善。但是，恰恰是這一方面的缺陷，在我們當前的數學教育裏表現得相當嚴重。比如說🦶🏽，數學系的課程往往過分強調了數學的邏輯性🍷，所以課程體系變成了緊密的邏輯鏈條，而按照邏輯鏈條來安排課程🤞🏻，4年中🦑，許多影響深遠、應用廣泛的數學思想📪🏏、數學方法連提都沒提到。而在數學系以外的專業，數學課程往往被看成一種服務性的課程，內容取舍的首要準則就是只教專業課程需要用的數學知識👨‍✈️，而這些內容的講法又往往是通過對數學系相應的內容進行刪節得到的⛔️。這樣一種現狀是很不適應需要的⛹🏿。在剛才那兩句老話後面，恐怕還要加上一句。在這個時代，無論是在哪種行業的激烈競爭中，“勝人一籌”與“功虧一簣”的差距🏂🏿，往往就在於他是不是能夠把數學用上▪️、用好👨‍👨‍👧。數學是在競爭中取勝的法寶，是強者的翅膀🕤。

我們要著眼於學生的將來，學生的適應性、競爭能力和潛力，努力提高大學生的數學修養（或者說數學素質）。這種修養，我認為至少應該包括理解🏂🏼、抽象🕉、見識和體驗這幾個方面。

理解：數學本身是一門邏輯性很強的學問，所謂理解力，當然包括邏輯推理的能力，還應包括數學中分析🎶、代數👨🏼‍⚕️🏊🏼‍♀️、幾何等不同語言對應轉換的能力，幾何想象的能力，等等。這是大家已經註意和重視的。

抽象🧛🏼：是指一種觀察能力、洞察能力🧗🏼‍♂️👨🏻‍🏭，是靈活的聯想對比🧝‍♂️🥷、舉一反三的能力，特別是把實際問題轉化成數學問題的能力🚺。

見識👨‍🦳🔊：要見識一些重要的數學思想和數學方法，以及用數學來解決問題的一些著名事例。就是說不單單要知道數學寶庫裏面的很多先進武器🌍，而且要了解數學在人類文明史上的獨特貢獻。有了這樣的見識，思路才會比較開闊，辦法才會比較多，遇到困難時才會比較自覺地求助於數學，把數學用上去💂🧔🏿‍♀️。

體驗：數學實際上是一種分析問題、解決問題的實踐活動，數學本身不是教條，而是像打獵一樣🔔，是一種活的本領，如轉換觀察問題的角度，選擇適當的方法。此外🫦，你還要能夠檢驗所得到的結果是對還是不對🛥，可靠性如何，要有一個適當的判斷，要善於從中發現問題🐃，尋找原因。這些環節只有親身經歷才能夠真正學到手，所以體驗也是比較重要的方面🏦🤢。

數學修養的提高自然是一輩子的事，還有創造性👱🏻‍♀️、技巧性等更深層次的含義，但是前面提到的理解🧑🏼‍🎓、抽象0️⃣、見識和體驗等幾個方面，在大學階段就應該註意培養🧑‍🦱。不能再像過去那樣🪣，重“學”不重“用”，只註重一個“懂”字。（本文節選自姜伯駒於1995年3月在原國家教委主辦的“面向21世紀教學內容和課程體系改革”報告會上的發言）

編輯🛅：文尚